Kerroksen lämmönjohtavuutta pääsuunnissa arvioidaan usein ns. Halpin-Tsai kaavoilla:

                                                        (8.120a,b)

missä λ_f  ja λ_m ovat lujitteen ja matriisimuovin lämmönjohtavuudet ja ξ on parametri, jonka suositusarvo on usein 1. Lausekkeita (8.120) voidaan niin ikään käyttää kerroksen sähkönjohtavuuden arviointiin, kun aineosien lämmönjohtavuudet korvataan niiden sähkönjohtavuuksilla.

Kun kerrosta tarkastellaan laminaattikoordinaatistossa, lämmön- ja sähköjohtavuutta voidaan arvioida kaavoja (8.116) vastaavilla lausekkeilla

                                                                           (8.121a,b)

missä k on lämmönjohtavuus tai sähkönjohtavuus. Kaavoja (8.121) voidaan käyttää myös laminaattien lämmön- ja sähkönjohtavuuden arviointiin.

Kirjallisuutta

1. Jones R.M., Mechanics of Composite Materials. Scripta Book Company, Washington D.C., 1975.
2. Agarwal B.D., Broutman L.J., Analysis and Performance of Fiber Composites, Second Edition. John Wiley & Sons Inc, 1990.
3. Whitney J.M., Structural Analysis of Laminated Anisotropic Plates. Technomic Publishing Company, Inc., USA 1987.
4. Tsai S.W., Composites Design. Think Composites, USA 1987.
5. Engineered Materials Handbook, Volume 1, Composites. ASM International, USA 1987.
6. Engineering Sciences Data Unit (ESDU), Laminate stacking sequences for special orthotro­py (Application to fibre reinforced composite). Structures Vol. 14, Item No. 82013.
7. Skyttä V., Transverse Shear in Laminate Analysis. Diplomityö, Teknillinen korkeakoulu, Konetekniikan osasto, Espoo 2002.
8. Noponen J., Free Edge Analyses of Composite Laminates. Diplomityö, Teknillinen korkeakoulu, Konetekniikan osasto, Otaniemi 1995.
9. Springer G.S., Environmental Effects on Composite Materials. Technomic, 1981.

Mekaanisten ominaisuuksien ohella on tärkeää tuntea tiettyyn ympäristöön altistetun laminaatin kosteuspitoisuus, koska kerrosten ja laminaattien ominaisuudet ovat kosteuspitoisuudesta riippuvaiset. Monissa sovelluksissa joudutaan myös arvioimaan laminaattien lämmön- ja sähkönjohtavuutta.

8.5.1   Materiaalien kosteusabsorptio

Luvun 6 mukaisesti materiaalien kosteuspitoisuus kuvataan sen massan kasvuna suhteutettuna kuivan materiaalin massaan (kaava 6.14). Kosteusabsorption ja –desorption nopeutta kuvaava materiaalisuure on diffuusiokerroin (diffusivity, D), jonka yksikkö on mm²/s. Kerroin on lämpötilasta riippuvainen. Polymeerien ja komposiittien diffuusiokerrointa eri lämpötiloissa voidaan usein arvioida lausekkeella:

                                                                                                        (8.113)

missä D₀ ja C ovat materiaalivakioita T:n ollessa tarkastelulämpötila absoluuttisella lämpötila-asteikolla.

8.5.2   Kerroksen kosteusabsorptio

Kuitulujitettujen kerrosten diffuusiokerroin on mekaanisten ominaisuuksien tapaan tarkastelusuunnasta riippuvainen. Yhdensuuntaiskerroksen diffuusiokerrointa voidaan arvioida sekoituskaavoilla. Useimmiten lujitteen diffuusiokerroin voidaan olettaa nollaksi, jolloin kerroksen diffuusiokertoimelle kuitusuunnassa saadaan

                                                                                                   (8.114)

missä V_f on lujitteiden tilavuusosuus ja D_m on matriisimuovin diffuusiokerroin. Poikittaissuunnan diffuusiokertoimelle on esitetty lauseke [9]:

                                                                                            (8.115)

Kun kerrosta tarkastellaan laminaattikoordinaatistossa, diffuusiokerrointa voidaan arvioida lausekkeella

                                                                         (8.116a,b)

8.5.3   Laminaatin kosteusabsorptio

Kosteus imeytyy laminaattiin käytännössä vain paksuussuunnassa. Seuraava tarkastelu rajoitetaankin tähän tapaukseen. Laminaatti ajatellaan valmistetuksi kerroksesta, jonka paksuussuuntaista diffuusiokerrointa merkitään yksinkertaisuuden vuoksi D:llä. Laminaatin lämpötila oletetaan vakioksi, jolloin diffuusiokerrointa voidaan arvioida kaavalla (8.113), kun parametrien D₀ ja C arvot ovat tunnetut.  Kosteus voi imeytyä laminaattiin kummaltakin pinnalta tai vain toiselta pinnalta (kuva 8.21).

Kuva 8.21 Laminaatin altistuminen kosteudelle.

Laminaatin kosteuspitoisuutta voidaan arvioida kaavalla:

                                                                                              (8.117)

missä c_m on maksimi kosteuspitoisuus, jonka laminaatti (kerros) voi tarkasteluympäristössä saavuttaa, c_i on kosteuspitoisuus tarkastelun alkuhetkellä ja G on aikariippuva parametri, jonka määrittelee lauseke:

                                               (8.118)

Lausekkeessa (8.118) t on altistusaika, h on laminaatin paksuus ja k on kosteudelle altistettujen pintojen lukumäärä (= 1 tai 2). Kun altistusaika t on riittävän pitkä, sarjan (8.118) ensimmäinen termi antaa jo hyvän likiarvon G:lle:

                                                                                  (8.119)

Parametrien D₀ ja C arvoja on jossain määrin löydettävissä kirjallisuudesta. Lähteessä [9] on esitetty eräiden hiilikuitu/epoksi-laminaattien parametreille paksuussuunnassa taulukon 8.5 mukaiset arvot.

Taulukko 8.5 Parametrien D₀ ja C arvot paksuussuunnassa eräille hiilikuitu/epoksi-laminaateille eri ympäristöissä.

Laminaatin kestävyyttä arvioidaan tutkimalla laminaatin muodostavien kerrosten venymä-/jännitystilan kriittisyyttä. Kerrosten venymät ja jännitykset määritetään kappaleen 8.3.8 mukaisesti.

Kerroksen venymä-/jännitystilan kriittisyyttä arvioidaan vertaamalla kerroskoordinaatiston jännityksiä tai venymiä peruskuormitustapauksissa määritettyihin kerrosten lujuuksiin tai murtovenymiin. Vertailutapoja eli ns. murtokriteereitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Erona kriteereissä on se, miten yhdistetty jännitys-/venymätila eli tasojännityskomponenttien s₁, s₂ ja t₁₂ tai tasovenymäkomponenttien e₁, e₂ ja g₁₂ vuorovaikutus otetaan huomioon. Sovelletun periaatteen perusteella kriteerit voidaan jakaa kolmeen pääryhmään seuraavasti:

• Riippumattomissa kriteereissä (independent criteria) johtopäätökset kerroksen kestävyydestä tehdään vertaamalla erikseen kerroskoordinaatiston jännityksiä tai venymiä mitattuihin lujuuksiin tai murtovenymiin. Toisin sanoen kriteerit eivät ota huomioon jännitys-/venymäkomponenttien mahdollista vuorovaikutusta.
• Täysin interaktiivisissa kriteereissä (fully interactive criteria) otetaan huomioon kaikkien jännitys-/venymäkomponenttien vuorovaikutus. Toisin sanoen oletetaan, että kolmen komponentin yhdessä määrittelemä jännitys-/venymätila on kerroksen kestävyyden kannalta aina erilainen kuin yksittäisten jännitys-/venymäkomponenttien määrittelemät jännitystilat.
• Osittain interaktiiviset kriteerit (partly interactive criteria) ovat nimensä mukaisesti riippumattomien ja täysin interaktiivisten kriteerien välimuotoja.   

Murtokriteerien matemaattinen esitystapa on murtofunktio, joka tasojännitystilaa vastaten konstruoidaan seuraavin periaattein:

                                                   (8.96a,b)

Lausekkeiden mukaisesti murtofunktion minimiarvo on nolla vastaten tilannetta, jossa kerros on täysin kuormittamaton. Funktio saa arvon yksi, kun kuormitus on kasvanut tasolle, joka juuri aiheuttaa kerroksen pettämisen.

Kuitulujitetuille kerroksille on vuosien mittaan kehitetty kymmeniä murtokriteereitä. Seuraavissa kappaleissa esitellään niistä yleisimmät.

8.4.1     Riippumattomat murtokriteerit

Riippumattomia murtokriteereitä voidaan käytännössä konstruoida kaksi. Toisessa verrataan kerrokseen kohdistuvia jännityskomponentteja vastaaviin murtojännityksiin, toisessa taas venymäkomponentteja vastaaviin murtovenymiin. Murtokriteereitä kutsutaan maksimijännitys– ja maksimivenymäkriteereiksi.

Maksimijänni­tyskriteerin mukainen murtofunktio on edellä kuvatun mukaisesti:

                                                                                      (8.97)

missä X on kerroksen murtojännitys akselin 1 suuntaisessa kuormituksessa, Y vastaavasti murtojännitys akselin 2 suuntaisessa kuormituksessa ja S murtojännitys 12-tason leikkauskuormituksessa. Murtojännitykselle X käytetään veto- tai puristuskuormitusta vastaavaa arvoa riippuen siitä, onko kerrokseen kohdistuva jännityskomponentti σ₁ vetoa vai puristusta. Vastaavalla periaatteella valitaan Y:n arvo.

Maksimivenymäkriteerin mukainen murtofunktio on:

                                                                                     (8.98)

missä X_e on kerroksen murtovenymä akselin 1 suuntaisessa kuormituksessa, Y_e vastaavasti murtovenymä akselin 2 suuntaisessa kuormituksessa ja S_e murtoliukuma 12-tason leikkauskuormituksessa. Tässäkin tapauksessa murtovenymille X_e ja Y_e käytetään veto- tai puristuskuormitusta vastaavaa murtovenymän arvoa riippuen siitä, ovatko todelliset venymät e₁ ja e₂ positiivisia vai negatiivisia.

8.4.2   Täysin interaktiiviset kriteerit

Täysin interaktiivisten kriteerien yleisenä lähtökohtana on murtofunktio, joka sisältää jännityskomponenttien ensimmäisen ja toisen asteen termit:

                          (8.99)

Jännityskomponenttien kertoimet F_ij ja F_i määritetään niin, että murtofunktiot saavat peruskuormitustapauksissa arvon 1, kun kuormituksena on referenssilujuusarvo.

Interaktiivisista kriteereistä yleisin on Tsai-Hill-kriteeri. Se on saanut nimensä kahdesta kehittäjästään: kriteerin pohjana on Hillin anisotrooppisille materiaaleille kehittämä myötökriteeri, josta Tsai modifioi kuitulujitetun kerroksen murtokriteerin. Tsai-Hill-kriteeri on muodostettu lausekkeesta (8.99) ottamalla huomioon vain jännitysten toisen asteen termit (F₁ = F₂ = F₆ = 0). Tsai-Hill murtofunktio on

                                                                                 (8.100)

missä X ja Y ovat maksimijännityskriteerin tapaan kerroksen veto- tai puristuslujuudet (suunnissa 1 ja 2) riippuen siitä, ovatko vaikuttavat jännitykset vetoa vai puristusta.

Tsai-Wu-kriteerin murtofunktio muodostetaan ottamalla mukaan kaikki lausekkeen (8.99) termit. Edellyttämällä taas, että murtofunktio saa peruskuormitustapauksissa murtojännityksellä arvon 1 saadaan murtofunktioksi:

               (8.101)

missä X:n ja Y:n alaindeksit t ja c viittaavat veto- ja puristuslujuuksiin.

Kaavan (8.101) mukaisesti Tsai-Wu murtofunktioon jää kerrointermi F₁₂, jonka arvoa ei pystytä ratkaisemaan peruskuormitustapauksia tarkastelemalla. Arvo voidaan määrittää mittaamalla kerroksen lujuus, kun siihen kohdistetaan samanaikaisesti pääakselien 1 ja 2 suuntaiset kuormat. Viimeisen termin merkitys on kuitenkin melko vähäinen. Usein Tsai-Wu-kriteeriä sovelletaan käyttämällä F₁₂:lle tyypillistä arvoa – 0,5(F₁₁ F₁₂)^½.

Hoffmanin kriteeri on kolmas yleisesti käytetty täysin interaktiivinen kriteeri. Se on Tsai-Wu-kriteerin kaltainen lukuun ottamatta termiä F₁₂, joka Hoffmanin kriteerissä saa arvon – ½ F₁₁. Hoffmanin kriteerin mukainen murtofunktio on näin:

                     (8.102)

8.4.3   Osittain interaktiiviset kriteerit

Osittain interaktiivisten kriteerien taustalla on ajatusmalli, jonka mukaan kaikki kolme tasojännityskomponenttia eivät ole vuorovaikutteisia. Kriteereitä on kehitetty lähinnä yhdensuuntaiskerroksille. Perusoletuksena on yleensä se, että pettäminen pääsuunnassa 1 riippuu vain suunnan 1 kuormituksesta, koska kuorman kantavat pääosin lujittavat kuidut. Pääsuunnan 2 kuormitus ja tason 12 leikkauskuormitus taas ovat vuorovaikutteisia, koska molemmat rasittavat voimakkaasti matriisia ja matriisi/kuitu-sidoksia.

Osittain interaktiivisten kriteerien murtofunktio koostuu tavallisesti kahdesta osasta. Eräänlainen kriteerien perusmalli on Puckin yksinkertainen kriteeri, jonka murtofunktio on:

           (8.103)

Lausekkeen mukaisesti kriteeri arvioi suunnan 1 pettämiskuormaa vastaavasti kuin maksimijännityskriteeri olettaen kahden muun jännityskomponentin vuorovaikutuksen Tsai-Hill-kriteerin kaltaiseksi.

Puckin modifioidussa kriteerissä s₂:n ja t₁₂:n vuorovaikutusyhtälö on korvattu Hoffmanin kriteeriä vastaavalla lausekkeella:

                               (8.104)

Niin ikään osittain interaktiivinen Hashinin kriteeri olettaa, että myös s₁ ja t₁₂ ovat vuorovaikutteisia, kun kuormitus suunnassa 1 eli kuitusuunnassa on vetoa. Kun 1-suunnan kuormitus on puristusta, 1-suunnan pettämiseen oletetaan vaikuttavan vain tässä suunnassa vaikuttavan jännityksen:

                                       (8.105)

Hashinin kriteeriä käytetään myös hieman edellisestä poikkeavassa muodossa: eräissä lähteissä kaavan (8.105) viimeisessä lausekkeessa esiintyvät termit 2S on korvattu termeillä 2Q, missä Q on kerroksen leikkauslujuus tasossa 23.

8.4.4   Kuormituksen kriittisyys

Murtofunktion arvo kuvaa sinällään jo hyvin kuormitustilanteen kriittisyyttä. Osa murtofunktioista on kuitenkin epälineaarisia, jolloin murtofunktion arvo ei suoraan ilmaise kuormitustason ja murtokuormitustason suhdetta. Murtofunktioiden arvon ohella kuormituksen kriittisyyttä kuvataankin varmuusmarginaalilla (margin of safety, MoS), joka määritellään lausekkeella:

                                                                                                    (8.106)

missä {F}_a on laminaattiin kohdistettu kuorma (a = applied) ja {F}_f pettämiskuorma, kun kuormitusta kasvatetaan jännitys-/venymäkomponenttien keskinäiset suhteet säilyttäen. Kaavan (8.106) mukaisesti positiivinen varmuusmarginaali osoittaa, että kerros kestää siihen kohdistetun kuorman. Varmuusmarginaali esitetään usein myös prosenttilukuna:

                                                                                    (8.107)

Varmuusmarginaalin ohella kuormituksen kriittisyyttä kuvataan laminaatin pettämiskuorman ja laminaattiin kohdistetun kuorman suhteella:

                                                                                                           (8.108)

Suhteen symboli on peräisin sen englanninkielisestä nimityksestä (Reserve Factor). Suomen kielessä suhteelle ei ole vakiintunutta nimitystä. Tässä kirjassa kerrointa kutsutaan lujuusreserviksi.

Lausekkeiden (8.106) ja (8.108) mukaisesti varmuusmarginaalin ja lujuusreservin välillä on yhteys:

                                                                                                     (8.109)

Varmuusmarginaalin ja lujuusreservin arvot on aina laskettavissa murtofunktion arvosta. Kun murtofunktio ei sisällä jännitysten toisen asteen termejä, lujuusreservi on yksinkertaisesti murtofunktion käänteisluku:

                                                                                                              (8.110)

Kun murtofunktioon sisältyy jännitysten toisen asteen termejä, lujuusreservin arvo saadaan toisen asteen yhtälöstä, joka muodostetaan kertomalla murtofunktiossa jännitykset lujuusreservillä ja asettamalla murtofunktion arvoksi 1. Esimerkiksi Hoffmanin kriteeriä käytettäessä lujuusreservin määrittää yhtälö:

        (8.111)

8.4.5 Kerroksen pettämistapa

Riippumattomat murtokriteerit antavat murtofunktion arvon ohella ennusteen kerroksen pettämistavasta. Tämän määrittelee murtofunktion suurin jännitys/lujuus-suhde. Mahdolliset pettämistavat ovat tässä yksikertaisessa tarkastelussa veto-/ puristusmurtuma suunnassa 1, veto-/puristusmurtuma suunnassa 2 ja leikkausmurtuma tasossa 12. Interaktiivisia kriteerejä käytettäessä pettämistapaa arvioidaan tavallisesti maksimijännityskriteerillä, koska interaktiivisen kriteerin murtofunktio ei pettämistapaa suoraan ilmaise.

8.4.6   Murtokriteerien käyttö

Laminaatin kestävyyttä arvioidaan soveltamalla valittua murtokriteeriä kaikkiin laminaatin kerroksiin. Laminaatin murtofunktion arvo on luonnollisesti suurin sen kerroksille määritetyistä murtofunktioiden arvoista:

                                                                               (8.112)

Murtokriteerejä käytettäessä on huolehdittava siitä, että kerroksen kuormitustila kuvataan oikein. Referenssiarvot eli murtofunktioon sijoitettavat kerroksen lujuudet tai murtovenymät peruskuormitustapauksia vastaten on myös valittava tarkoituksenmukaisesti.

Kerroksen kuormitustilan kuvaus

Kerroksen kuormitustilan kuvaus murtofunktiossa on suoraviivaista, kun laminaattiin kohdistuu vain mekaaninen kuorma. Kuormitustilan kuvaavat tällöin yksiselitteisesti laminaatin muodonmuutostilasta määritetyt kerroksen jännitykset ja venymät kerroskoordinaatistossa 12. Kun laminaattiin kohdistuvaan kuormaan sisältyy lämpötila- ja/tai kosteusmuutoksen aiheuttama kuormituskomponentti, kerroksen kuormitustilaa kuvaavat ekvivalentit venymät ja niistä lasketut jännitykset eli lausekkeen (8.95) mukaiset venymät ja jännitykset.

Mikäli tarkasteltavaan kuormaan sisältyy momentteja, pettämistarkastelu on syytä tehdä sekä kerroksen ylä- että alapinnan kuormituksilla, koska läheskään aina ei ole selvää, kumpi kuormituksista on kriittisempi.

Yhdensuuntaiskerroksista muodostettujen laminaattien analysointi

Kun yhdensuuntaiskerroksen kestävyys kuvataan peruskuormitustapauksia vastaavilla lujuusarvoilla, saadaan arvioitua kestääkö kerroksesta valmistettu laminaatti murtofunktiossa määritellyn kuorman ilman kerrosvaurioita. Samalla saadaan arvioitua, millä tavoin heikoin kerros pettää, kun kuormitusta kasvatetaan kuormitusvektorin määrittelemässä suunnassa. Edellisen kappaleen mukaisesti pettämistapa voi olla veto-/ puristusmurtuma suunnassa 1, veto-/puristusmurtuma suunnassa 2 tai leikkausmurtuma tasossa 12.

Laminaatin vaurioitumisen syynä on yleensä jossakin kerroksessa tapahtuva veto-/puristusmurtuma kuituja vastaan kohtisuorassa suunnassa 2 tai leikkausmurtuma tasossa 12. Kumpikin pettämistapa aiheuttaa kerrokseen matriisi- ja kuitu/matriisi-sidosvaurioita. Tavallisesti vaurio kuitenkin rajoittuu kerrokseen, joissa em. lujuuden ylitys tapahtuu. Vaurioitumista kutsutaankin usein ensimmäisen kerroksen pettämiseksi (First Ply Failure, FPF).

Laminaattiteorialla ja murtokriteereillä voidaan myös arvioida, kestääkö yhdensuuntaiskerroksista muodostettu laminaatti kuorman lopullisesti pettämättä. Tavallisesti arvio tehdään olettamalla, että laminaatti pystyy vastaanottamaan lisäkuormia kunnes jonkin kerroksen jännitys kuitusuunnassa saavuttaa kerrokselle tässä suunnassa määritetyn murtojännityksen arvon (tai kerroksen venymä kuitusuunnassa saavuttaa murtovenymän arvon). Yksinkertaisimmillaan analyysi tehdään olettamalla kaikki kerrokset vaurioituneiksi niin, että ne kantavat kuormaa poikittaissuunnassa ja leikkauksessa alentuneella teholla. Poikittaissuunnan murtovenymä ja liukuma määritellään niin suuriksi, että laminaatin pettämismekanismiksi saadaan kuitusuuntainen murtuma jossakin kerroksessa.

Esimerkkinä kerrosarvojen modifioinnista on kuvassa 8.17 kerrokselle poikittaisessa vedossa mitattu jännitysvenymäkuvaaja ja lujuusanalyysissä käytetty modifioitu kuvaaja, jossa murtovenymä on määritelty huomattavatsi mitattua suuremmaksi. Vaurioituneen kerroksen lujuus on oletettu samaksi kuin ehjän kerroksen lujuus. Tehty oletus vaurioituneen kerroksen käyttäytymisestä on varsin karkea. Käytännössä 2-suunnan jäykkyys vaikuttaa kuitenkin melko vähän laminaatin käyttäytymiseen, joten laminaatin pettämiskuormalle saatava arvio on ainakin suuntaa antava edellyttäen, että laminaatti pettää oletetulla tavalla.

Kuva 8.17 Yhdensuuntaiskerrokselle mitattu poikittaissuunnan jännitysvenymäkuvaaja ja kuvaajan approksimaatio vaurioituneelle kerrokselle

Edellä esitettyä vaurioituneen laminaatin lineaarista analyysiä käytetään hieman eri tavoin. Vaurioitumismalliin viitataan yleensä nimikkeillä viimeisen kerroksen pettäminen (Last Ply Failure, LPF) ja vaurioituneen laminaatin pettäminen (Degraded Laminate Failure, DLF).

Muut laminaatit

Luvun 6 mukaisesti kudos- ja mattokerrokset käyttäytyvät kuormituksessa eri tavoin kuin yhdensuuntaiskerrokset. Kun arvioitavana on varmuusmarginaali laminaatin vaurioitumisen suhteen, kudos- ja mattokerrosten lujuudet ja murtovenymät määritellään vauriorajaa vastaavasti (kuva 8.18). Kun arvioitavana on varmuus lopulliseen pettämiseen nähden, lineaarinen jännitysvenymäkuvaaja määritellään yleensä murtojännityksen ja –venymän avulla (kuva 8.18). On kuitenkin huomattava, että kuormituksen 0-piste ja kerrokselle mitatut veto- ja puristusmurtumapisteet eivät yleensä osu samalle suoralle. Käyttäjän harkittavaksi jääkin, miten yksinkertaistettu lineaarinen malli tällöin muodostetaan. Kuvan 8.18 esimerkissä lineaarisen jännitysvenymäkuvaajan murtopiste puristuspuolella on määritetty mitatun puristusmurtovenymän perusteella, jolloin puristuslujuus arvioituu mitattua lujuutta selvästi alhaisemmaksi.

Kuva 8.18 Mattokerrokselle mitattu jännitysvenymäkuvaaja vedossa/puristuksessa ja kuvaajan lineaarinen approksimaatio vaurioituneelle kerrokselle.

8.4.7   Murtokriteerien luotettavuus

Kehitettyjen murtokriteerien monilukuisuudesta voi päätellä, että kaikkiin tilanteisiin soveltuvaa, luotettavaa murtokriteeriä ei ole olemassa. Murtokriteereistä ja niiden käytettävyydestä käydäänkin jatkuvaa keskustelua. Yleensä interaktiiviset kriteerit antavat parhaiten koetuloksia vastaavia arvoja. Viime aikoina on eniten kehitetty kappaleessa 8.4.3 esitettyjä osittain interaktiivisia kriteerejä.  Kaikkiaan on kuitenkin huomattava, että lineaarinen analyysi ja murtokriteerit antavat vain arvion laminaatin kestävyydestä. Arviot ovat käyttökelpoisia laminaattirakenteen suunnittelussa, mutta valitun rakenteen lujuudet on tarvittaessa varmistettava kokeellisesti.

Esimerkkinä murtokriteerien toimivuudesta on kuvassa 8.19 esitetty yhdensuuntaiskerroksesta valmistetulle kulmaladotulle, symmetriselle +q/-q-laminaatille mitattuja lujuuksia (pisteet) ja arvioituja lujuuksia (kuvaajat) eri q:n arvoilla vedossa ja puristuksessa. Esimerkkitapauksessa kerroksen kuitujen suuntainen lujuus on yhtä suuri vedossa ja puristuksessa.

Vasemman kuvan mukaisesti Tsai-Hill-kriteerillä arvioitu lujuus on kulman q jatkuva funktio kriteerin interaktiivisuudesta johtuen. Maksimivenymä- ja maksimijännityskriteerit pohjautuvat kolmeen erilliseen ehtoon, mistä syystä kriteerien mukaiset kuvaajat ovat epäjatkuvia. Pienillä q:n arvoilla laminaatti pettää kerrosten kuitujen suuntaisen lujuuden ylittyessä. Kulman kasvaessa pettämismoodi muuttuu kerrosten leikkausmurtumaksi (q ≈ 5°). Suurilla q:n arvoilla pettämismuoto on kerrosten poikittaisen lujuuden ylitys. Maksimivenymäkriteerin ennusteen mukaisesti laminaatti pettää tällä muodolla vetokuormituksessa kun q ≥ 45°. Maksimijännityskriteeri antaa kulmalle likimain saman arvon. Koska kerros kestää poikittaissuunnassa puristusta huomattavasti paremmin kuin vetoa, pettämismuoto muuttuu laminaatin puristuskuormituksessa kerroksen leikkausmurtumasta poikittaiseksi puristusmurtumaksi vasta selvästi suuremmalla q:n arvolla (q ≈ 70°).

Vertaamalla kriteerien ennusteita koetuloksiin todetaan, että kaikki kriteerit antavat hyvin koetuloksia vastaavia arvoja, kun yksi jännityskomponentti on hallitseva. Näinhän tietysti tulee ollakin, koska kriteerit on muodostettu siten, että ne peruskuormitustapauksissa antavat oikean tuloksen. Kun kerrokseen kohdistuu kaksi merkittävän suurta jännityskomponenttia, nähdään interaktiivisen Tsai-Hill-kriteerin ennusteiden vastaavan selvästi parhaiten koetuloksia.

Kuva 8.19 Kulmaladotuille +q/-q-laminaateille mitatut ja eri kriteereillä lujuudet veto- ja puristuskuormituksessa.

Toisena esimerkkinä kriteerien antamien ennusteiden eroista on kuvassa 8.20 arviot hiilikuitu/epoksi-yhdensuuntaiskerroksen varmuusmarginaalista pettämiseen nähden, kun kerrosta kuormitetaan aksiaalisesti jännityksellä σ_x = 125 MPa. Kerroksen suuntakulma q  = 30°, joka samalla on kuitusuunnan ja kuormitussuunnan välinen kulma. Tässä tapauksessa kaikki kerroskoordinaatiston jännityskomponentit (σ₁ , σ₂ ja τ₁₂) ovat melko suuria peruskuormitustapauksia vastaaviin lujuuksiin verrattuna, joten interaktiiviset kriteerit ennustavat varmuusmarginaalin selvästi pienemmäksi kuin riippumattomat maksimijännitys- ja maksimivenymäkriteerit. Hajonta interaktiivisten kriteerien ennusteissa on noin 10 %.

Kuva 8.20 Eri murtokriteerien antamat ennusteet hiilikuitu/epoksi-kerroksen varmuusmarginaalille, kuormitus σ_x = 125 MPa suunnassa 30° kuitusuuntaan nähden.

Kun ortotrooppisten kerrosten käyttäytyminen mielivaltaisessa koordinaatistossa tunnetaan, on suhteellisen helppoa luoda mekaaninen malli kerroksista koostetulle laminaatille. Käyttöön vakiintunutta laminaattien laskentamallia kutsutaan klassiseksi laminaattiteoriaksi (Classical Lamination Theory, CLT). Se perustana ovat seuraavat oletukset:

• laminaatin muodostavat kerrokset ovat makroskooppisesti homogeenisia eli ominaisuudet ovat samanlaiset kaikissa kerroksen pisteissä
• kerrokset käyttäytyvät lineaariselastisesti
• kerrokset ovat täydellisesti toisiinsa kiinnittyneet eli eivät pääse liukumaan toisiinsa nähden
• laminaatti on tasojännitystilassa
• laminaatin käyttäytyminen on teknisen taivutusteorian mukaista
• laminaatin muodonmuutokset ovat pieniä.

8.3.1 Laminaatin muodonmuutokset

Teknisen taivutusteorian mukainen käyttäytyminen tarkoittaa, että laminaatin keskitason normaalien oletetaan kuormituksessa säilyvän suorina ja olevan aina kohtisuorassa keskitasoa vastaan. Oletusta havainnollistaa kuvassa 8.8 esitetty laminaattipalkin (-laatan) muodonmuutos. Sen mukaisesti laminaatin minkä tahansa pisteen C siirtymän määrittelevät samaan poikkitasoon kuuluvan keskitason pisteen B tasosiirtymät, poikkitason kiertymä ja tarkastelupisteen etäisyys keskitasosta. Poikkitason kiertymän taas määrittelevät pisteen B pystysiirtymän eli keskitason taipuman ensimmäiset derivaatat.

Kuva 8.8 Palkin (laatan) teknisen taivutusteorian mukainen muodonmuutos.

Merkitsemällä kuvan 8.8 pisteen B x-, y– ja z-koordinaatin suuntaisia siirtymiä u₀:lla, v₀:lla ja w₀:lla, voidaan pisteen C tasosiirtymät esittää muodossa:

                                                                                                    (8.42)

Toisaalta, kun siirtymät ovat pieniä, tasovenymien ja siirtymäderivaattojen välillä on yhteys:

                                                                               (8.43)

Sijoittamalla kaava (8.42) kaavaan (8.43) saadaan pisteen C tasovenymille lausekkeet:

                        (8.44)

joka usein esitetään lyhyesti muodossa

                                                                                           (8.45)

missä venymäkomponenttien ja venymävektorin yläindeksi 0 viittaa laminaatin keskitasoon. Suureiden k_x, k_y ja k_xy yksikkö on rad/m ja niitä kutsutaan käyristymymiksi. Käyristymä on samalla taivutus-/vääntösäteen käänteisluku. Merkitsemällä säteitä R_x:llä, R_y:llä ja R_xy:llä, voidaan kirjoittaa:

                                                                  (8.46)

Toisaalta luvussa 2 todettiin, että laminaatin venymät yhdistetyssä taso- ja taivutuskuormituksessa voidaan tehdyin oletuksin esittää muodossa:

                                                                                      (8.47)

missä yläindeksi f viittaa taivutusvenymiin (vrt. kuva 2.14). Vertaamalla lausekkeita (8.45) ja (8.47) todetaan käyristymien ja taivutusvenymien välillä oleva yhteys:

                                                                                                       (8.48)

8.3.2 Symmetrinen laminaatti tasokuormituksessa

Kun keskitasonsa suhteen symmetristä laminaattia kuormitetaan tasossa normaalivoimilla ja leikkausvoimalla, kaikkien kerrosten venymät (e_x, e_y ja g_xy) ovat yhtä suuret (kuva 8.9a). Erilaisista materiaaleista valmistetuilla ja eri tavoin suunnatuilla kerroksilla on kuitenkin erilaiset jäykkyydet, minkä seurauksena kerrosjännitykset vaihtelevat. Koska kerrokset oletetaan makroskooppisesti homogeenisiksi, jännitystila on kuvan 8.9b mukainen eli jännitys on vakio kerroksen alueella ja muuttuu hyppäyksellä kahden eri tavoin käyttäytyvän kerroksen rajapinnassa.

Kuva 8.9 Symmetrisen laminaatin venymät ja jännitykset tasokuormituksessa.

Luvun 2 mukaisesti laminaattiin kohdistuva mekaaninen kuorma kuvataan tavallisesti voimina leveysyksikköä kohti. Kerrosjännitykset ovat näiden voimien aiheuttamia. Voimat ovat kerrosjännitysten resultantteja, joten voimien ja jännitysten välillä on yhteys

                                                                                            (8.49)

joka voidaan esittää lyhyemmin muodossa

                                                                                                 (8.50)

Ottamalla edelleen huomioon kerroksen jännityksille ja venymille johdettu yhteys (8.33), saadaan edellisestä

                                                             (8.51)

missä integraalin sisällä oleva matriisi on tarkastelupisteen sisältävän kerroksen jäykkyysmatriisi laminaattikoordinaatistossa. Kaavan jälkimmäinen muoto on saatu siirtämällä koko laminaatin alueella vakioiksi todetut venymät integraalin ulkopuolelle. Koska kerrokset oletettiin myös homogeenisiksi, lausekkeen (8.51) integraali voidaan korvata summauksella:

                                                                     (8.52)

missä n on laminaatin kerrosten lukumäärä ja h_k on kerroksen k paksuus. Lauseke (8.52) kuvaa symmetrisen laminaatin käyttäytymisen tasokuormituksessa. Venymävektorin 3×3 kerroinmatriisi [A] on laminaatin tasojäykkyysmatriisi, jonka alkioiden arvot on laskettavissa, kun laminaatin rakenne ja kerrosominaisuudet tunnetaan:

                                                                      (8.53a,b)

Lausekkeesta (8.52) saadaan edelleen määritettyä tunnetun kuormitustilan aiheuttamat laminaatin venymät. Merkitsemällä [A]:n käänteismatriisia eli laminaatin tasojoustomatriisia [a]:lla saadaan:

                                                                                 (8.54)

Luvun 2 mukaisesti laminaatin kuormitus voidaan kuvata myös keskimääräisillä eli ns. normalisoiduilla jännityksillä, jotka saadaan yksinkertaisesti jakamalla leveysyksikköä kohti ilmoitetut voimat laminaatin paksuudella. Tätä tapaa käyttäen lausekkeet (8.52) ja (8.54) muuntuvat muotoon:

                                                        (8.55a,b)

missä jännityksen yläindeksi 0 viittaa normalisoituun arvoon. Uudet kerroinmatriisit [A^*] ja [a^*] ovat laminaatin normalisoidut tasojäykkyys– ja tasojoustomatriisit:

                                                                                                     (8.56 a,b)

Laminaatin kimmoarvot on määritettävissä normalisoidusta tasojoustomatriisista kimmoarvojen määrittelyn mukaisesti. Kappaleen 8.2 kerrostarkasteluja vastaavasti saadaan:

                         (8.57a-i)

Lausekkeiden (8.57) mukaisesti laminaatin käyttäytymisen täydelliseen kuvaamiseen tarvitaan modulien ja Poissonin vakioiden ohella Lekhnitskiin vakiot, jotka ovat nollasta poikkeavia, kun laminaatti on balansoimaton (kts. kpl. 2.4.1). Lisäksi on huomattava, että kimmoarvot eivät määrittele todellisia jännitysvenymäsuhteita vaan laminaatin todellisten venymien ja keskimääräisten eli normalisoitujen jännitysten väliset suhteet.

Kerrossuuntien vaikutusta laminaatin moduleihin on havainnollistettu luvun 6 esimerkeissä (kuvat 6.18 ja 6.19).

Esimerkki

Esimerkkinä tarkastellaan nelikerroksista [+45/-45]SE-laminaattia, joka valmistetaan taulukon 8.1 mukaisesta, 0,5 mm paksuisesta lasikuitu/epoksi-yhdensuuntaiskerroksesta.

Laminaatin +45°-kerrosten jäykkyysmatriisi määritettiin kappaleen 8.2.3 esimerkissä. Vastaavaan tapaan voidaan laskea jäykkyysmatriisi -45°-kerrokselle. Lopputuloksena saadaan:

Laminaatin jäykkyysmatriisiksi saadaan kaavan (8.53) mukaisesti

Tuloksen mukaisesti jäykkyysmatriisin kytkentätermit 16 ja 26 häviävät, koska suuntakulmiltaan vastakkaismerkkisten kerrosten kytkentätermit ovat erimerkkisiä ja itseisarvoltaan samansuuruisia. Aksiaalikuorma ei näin ollen aiheuta laminaattiin leikkausmuodonmuutosta eikä leikkauskuorma normaalivenymiä.

Laminaatin normalisoitu jäykkyysmatriisi saadaan kaavan (8.56) mukaisesti jakamalla jäykkyysmatriisi laminaatin kokonaispaksuudella:

Normalisoitu joustomatriisi on tämän käänteismatriisi:

Laminaatin kimmoarvot saadaan edelleen laskettua joustomatriisin alkioista kaavoilla (8.57):

Kimmomodulien todetaan olevan jonkin verran suuremmat kuin kappaleen 8.2.3 esimerkissä lasketut +45°-kerroksen kimmomodulit. Selvästi enemmän on kuitenkin kasvanut liukumoduli johtuen siitä, että laminaatissa on jäykkiä kuituja kummankin diagonaalin suunnassa (vrt. luku 6).

8.3.3 Symmetrinen laminaatti taivutuksessa

Symmetrisen laminaatin keskitaso on samalla sen neutraalitaso, jossa lineaarisesti paksuussuunnassa muuttuvat tasovenymät vaihtavat merkkiä, kun laminaattia kuormitetaan puhtaalla taivutuksella (kuva 8.10a). Tasojännitykset muuttuvat homogeenisiksi oletetuissa kerroksissa lineaarisesti, mutta ovat epäjatkuvia eri tavoin käyttäytyvien kerrosten rajapinnoissa (kuva 8.10b)

Kuva 8.10 Symmetrisen laminaatin tasovenymät ja -jännitykset taivutuksessa.

Laminaattiin kohdistuva kuorma kuvataan tavallisesti momentteina leveysyksikköä kohti (vrt. luku 2). Kerrosjännitykset ovat momenttien aiheuttamia ja vastaavat momenttivaikutukseltaan laminaattia kuormittavia momentteja. Momenttien ja jännitysten välillä on näin yhteys:

                                                                                         (8.58)

Tämä voidaan esittää lyhyemmin muodossa

                                                                                              (8.59)

Ottamalla huomioon kerroksen jännityksille ja venymille johdettu yhteys vastaavaan tapaan kuin tasokuormitustarkastelussa, saadaan edellisestä

                                                                                        (8.60)

Lausekkeen (8.45) mukaisesti symmetrisen laminaatin puhtaassa taivutuksessa tasovenymien ja laminaatin käyristymien välillä on yhteys

                                                                                                         (8.61)

Kun tämä sijoitetaan lausekkeeseen (8.60) ja siirretään z-koordinaatista riippumattomat laminaatin käyristymät integraalin ulkopuolelle, saadaan momenttien ja laminaatin muodonmuutostilan kuvaavien käyristymien välille yhteys:

                                                                (8.62)

Tämä lauseke kuvaa symmetrisen laminaatin käyttäytymisen puhtaassa taivutuksessa. Käyristymävektorin 3×3 kerroinmatriisi on laminaatin taivutusjäykkyysmatriisi, jonka alkioiden arvot on laskettavissa, kun laminaatin rakenne ja kerrosominaisuudet tunnetaan. Koska kerrokset oletettiin homogeenisiksi, alkioiden arvot voidaan integroinnin sijaan laskea summaamalla:

                              (8.63a,b)

Lausekkeesta (8.62) saadaan edelleen määritettyä tunnetun kuormitustilan aiheuttamat laminaatin käyristymät. Merkitsemällä [D]:n käänteismatriisia eli laminaatin taivutusjoustomatriisia [d]:llä saadaan:

                                                                                (8.64)

Momenttien ja käyristymien sijaan laminaattien taivutuskäyttäytyminen voidaan kuvata myös normalisoitujen taivutusjännitysten ja taivutusvenymien välisillä yhteyksillä. Ottamalla huomioon lausekkeen (2.12) mukainen normalisoitujen taivutusjännitysten ja taivutusmomenttien välinen yhteys sekä lausekkeen (8.48) mukainen taivutusvenymien ja käyristymien välinen yhteys, saadaan lausekkeita (8.62) ja (8.64) vastaten:

                          (8.65 a,b)

missä yläindeksi f viittaa taivutusjännityksen normalisoituun arvoon ja taivutusvenymään eli laminaatin pintavenymään. Uudet kerroinmatriisit [D^*] ja [d^*] ovat laminaatin normalisoidut taivutusjäykkyys– ja taivutusjoustomatriisit:

                                                                                                   (8.66 a,b)

Laminaatin kimmoarvot taivutuksessa voidaan määrittää normalisoidusta taivutusjoustomatriisista vastaavasti kuin tasokimmoarvot tasojoustomatriisista. Viittaamalla taivutuskimmoarvoihin yläindeksillä f saadaan:

                        (8.67a-i)

Tässäkin tapauksessa on huomattava, että kimmoarvot eivät määrittele todellisia jännitysvenymäsuhteita vaan laminaatin todellisten pintavenymien ja normalisoitujen taivutusjännitysten väliset suhteet. Yleisessä tapauksessa jäykkyysmatriisin kaikki alkiot ja sen seurauksena Lekhnitskiin vakiot ovat myös nollasta poikkeavia. Näin taivutusmomentti aikaansaa laminaattiin taipumien ohella vääntymää ja vääntömomentti vääntymän ohella taipumia.

Esimerkki

Edellisen kappaleen esimerkissä määritettiin lasikuitu/epoksi-yhdensuuntaiskerroksesta valmistetun [+45/-45]SE-laminaatin kerroksille jäykkyysmatriisit xy-koordinaatistossa:

Näistä saadaan edelleen laskettua laminaatin taivutusjäykkyysmatriisi kaavaa (8.63) käyttäen. Koska laminaatti on symmetrinen, laskentaa voidaan yksinkertaistaa soveltamalla kaavaa vain laminaatin puolikkaaseen ja kertomalla lopputulos kahdella:

Tästä voidaan edelleen laskea normalisoitu taivutusjäykkyysmatriisi:

Normalisoitu taivutusjoustomatriisi on tämän käänteismatriisi:

 Tämän alkioista saadaan lopuksi laminaatin taivutuskimmoarvoiksi:

Kimmomodulien ja Poissonin vakion todetaan olevan likimain samansuuruiset kuin kappaleessa 8.3.2 lasketut tasokimmoarvot. Näin ei ole kuitenkaan aina. Toisentyyppisellä laminaatilla arvot voisivat erota hyvinkin paljon toisistaan, koska taivutusjäykkyyteen vaikuttaa oleellisesti myös kerrosten pinoamisjärjestys. Huomattavaa on lisäksi, että esimerkkilaminaatin tasojäykkyysmatriisissa kytkentätermit 16 ja 26 hävisivät. Taivutusjäykkyysmatriisissa ne ovat kuitenkin nollasta poikkeavia.

8.3.4 Taso- ja taivutuskuormitettu symmetrinen laminaatti

Symmetristen laminaattien venymät yhdistetyssä taso- ja taivutuskuormituksessa voidaan aina määrittää superponoimalla eli laskemalla taso- ja taivutuskuormien aiheuttamat venymät erikseen ja lopuksi summaamalla ne. Vastaavasti voidaan tietysti määrittää pakkomuodonmuutostilaa vastaavat laminaatin kuormitukset. Superponointi ei kuitenkaan ole mahdollista, mikäli laminaatti on epäsymmetrinen. Tällöin on sovellettava seuraavassa kappaleessa esitettyjä laskentamenetelmiä.

8.3.5 Epäsymmetrinen laminaatti

Keskitasonsa suhteen epäsymmetristen laminaattien käyttäytyminen on huomattavasti monimut­kaisempaa kuin symmetristen. Epäsymmetrisyyden johdosta laminaatin neutraalitaso ei enää yhdy sen geometriseen keskitasoon. Tämän seurauksena laminaatin tasossa vaikuttavat kuormat aiheuttavat normaalivenymien ja mahdollisen liukuman ohella myös laminaatin käyristymistä. Vastaavasti taivutus aiheuttaa paitsi käyristymistä myös normaalivenymiä ja liukumia laminaatin geometrisessa keskitasossa. Tehdyn oletuksen mukaisesti venymät ja liukuma muuttuvat kuitenkin lineaarisesti laminaatin paksuussuunnassa. Venymä- ja jännitysjakautumien yleistä muotoa havainnollistaa kuva 8.11.

Kuva 8.11 Epäsymmetrisen laminaatin venymät ja jännitykset taivutuksessa.

Epäsymmetristen laminaattien tarkasteluissa laminaatin muodonmuutostila määritellään geometrisen keskitason venyminä ja käyristyminä. Kokonaisvenymät tietyssä poikkileikkauksen pisteessä ovat kuvaa 8.11 ja kaavaa (8.45) vastaten

missä yläindeksi 0 viittaa keskitason venymiin ja z on tarkastelupisteen etäisyys geometrisesta keskitasosta.

Laminaatin käyttäytymismalli voidaan johtaa vastaavaan tapaan kuin symmetrisille laminaateille ulkoisten voimien ja momenttien sekä jännitysten aiheuttamien voimien ja momenttien yhtäsuuruusehdoista:

                                                                                        (8.68a,b)

Yleistetyn Hooken lain ja kaavan (8.45) avulla lausekkeet saadaan edelleen muotoon:

                 (8.69a,b)

Saadut lausekkeet osoittavat, että taso- ja taivutuskuormitustapaukset ovat nyt toisiinsa kytkeytyneet kappaleen alussa tehtyjen toteamusten mukaisesti.

Venymävektorin ja käyristymävektorin kerroinmatriisien tarkastelu osoittaa, että keskitason venymävektorin kertojana on ensimmäisessä yhtälössä laminaatin tasojäykkyysmatriisi [A]. Vastaavasti jälkimmäisessä yhtälössä käyristymävektorin kerroinmatriisi on laminaatin taivutusjäykkyysmatriisi [D]. Kolmas kerroinmatriisi, joka esiintyy kummassakin yhtälössä, kuvaa taso- ja taivutuskuormitustapausten kytkeytymisen, mistä syystä sitä kutsutaan kytkentämatriisiksi:

                                                                                                    (8.70)

Kytkentämatriisin alkiot voidaan laskea vastaavasti kuin muiden jäykkyysmatriisien alkiot. Korvaamalla integraali summauksella yli kerrosten saadaan:

                                                            (8.71)

Matriisiyhtälöpari (8.69) voidaan näin esittää lyhyesti muodossa:

                                                                             (8.72a,b)

Yhtälöpari voidaan myös yhdistää yhdeksi matriisiyhtälöksi, jossa kuormitusvektori sisältää sekä taso- että taivutuskuormat. Laminaatin muodonmuutoksen kuvaa vastaavasti keskitason venymät ja käyristymät sisältävä vektori. Tämän 6×6 kerroinmatriisi muodostuu jäykkyysmatriiseista:

                                                                                       (8.73)

Kaavat (8.72) ja (8.73) määrittelevät yleisimmässä tapauksessa laminaatin kuormitusten ja muodonmuutosten väliset yhteydet. Symmetriselle laminaatille kytkentämatriisi [B] = 0, jolloin kaavat supistuvat aikaisemmin tarkastelluiksi kahdeksi erilliseksi, taso- ja taivutuskuormitusta kuvaavaksi matriisiyh­tälöksi.

Matriisiyhtälöparista (8.72) tai yhtälöstä (8.73) voidaan kääntäen ratkaista venymät ja käyristymät kuormitustilan funktiona. Käyttämällä kaavan (8.73) mukaista esitystapaa, saadaan kerroinmatriisin käännön tuloksena

                                                       (8.74)

missä [a], [b] ja [d] ovat epäsymmetrisen laminaatin taso-, kytkentä– ja taivutusjoustomatriisit. Näiden lausekkeet ovat:

                                                 (8.75)

Luonnollisesti nämäkin matriisit suppenevat symmetrisillä laminaateilla aikaisemmin tarkasteltuun muotoon (kytkentämatriisit häviävät, [a] = [A]^-1, [d] = [D]^-1).

Toisinaan on hyödyllistä kääntää kaavojen (8.72) mukainen matriisiyhtälöpari vain osittain ratkaisemalla ensimmäisestä yhtälöstä keskitason venymät ja sijoittamalla saatu tulos jälkimmäiseen yhtälöön. Lopputulokseksi saadaan:

                                              (8.76a,b)

Ratkaisu on käyttökelpoinen, kun analysoitavana on esimerkiksi epäsymmetrisestä laminaatista valmistettu paineastia tai paineistettu ja aksiaali-/vääntökuormitettu putki. Näissä seinämän käyristyminen on rakenteellisesti estetty ({κ}_xy = 0), jolloin ensimmäisestä kaavasta saadaan tasokuormien aiheuttamat seinämän venymät. Toinen kaava ilmoittaa, miten suuret momentit seinämää kuormittavat, kun seinämä ei pääse vapaasti käyristymään.

Kaavojen (8.74) mukaisten joustomatriisien alkioista voitaisiin edelleen määrittää epäsymmetrisen laminaatin kimmoarvot vastaavaan tapaan kuin ne aikaisemmissa kappaleissa johdettiin symmetrisille laminaateille. Samoin voitaisiin määritellä normalisoidut jäykkyys- ja joustomatriisit. Laminaattien monimutkaisen käyttäytymi­sen takia suureiden käyttö on kuitenkin epähavainnollista. Suositeltavaa onkin käyttää edellä esitettyjä lausekkeita ulkoisen kuormituksen aiheuttaman venymätilan määrittämiseen. Laminaatin venymistä saadaan suoraan määritettyä kerrosten venymät ja näistä tarvittaessa kerrosten jännitystila yleistettyä Hooken lakia soveltaen.

Epäsymmetristen laminaattien käyttö ei yleensä ole suositeltavaa, sillä kuormitusten aiheuttamat muodonmuutokset voivat olla yllättäviä. Lisäksi lämpötila- ja kosteusmuutokset aiheuttavat laminaattien käyristymistä. Epäsymmetrisyyttä on pyritty hyödyntämään lähinnä eräissä virtausteknisissä sovellutuksissa optimoimalla käyttökuormien aiheuttamia muodonmuutoksia siten, että rakenne on kaikilla kuormilla virtausteknisesti tehokas.

8.3.6 Laminaattien luokittelu

Edellisten kappaleiden mukaisesti laminaatin mekaanisen käyttäytymisen kuvaavat sen jäykkyysmatriisit [A], [B] ja [D]. Laminaatit voidaan luokitella matriisien ominaisuuksien perusteella, mistä esimerkkinä on luokittelu symmetrisiin ([B] = 0) ja epäsymmetrisiin ([B] ¹ 0) laminaatteihin. Luokittelua voidaan täsmentää tarkastelemalla erikseen kunkin jäykkyysmatriisin alkioita.

Oman pääryhmänsä muodostavat luonnollisesti symmetriset laminaatit, joiden kytkentämatriisi [B] = 0. Näiden luokittelu on esitetty taulukossa 8.2. Yksinkertaisimmin käyttäytyviä ovat nk. erityisesti ortotrooppiset laminaatit, joilla taso- ja taivutusjäykkyysmatriisien kytkentätermit 16 ja 26 häviävät. Esimerkkejä erityisesti ortotrooppisista laminaateista ovat yhdensuuntaislaminaatit ja symmetriset ristiinladotut laminaatit. Myös eräät symmetriset balansoidut laminaatit ovat erityisesti ortotrooppisia. Tällaiset laminaatit on kootusti esitetty mm. lähteessä [6]. Normaalisti kuitenkin symmetrisen balansoidun laminaatin tasojäykkyysmatriisin [A] kytkentätermit häviävät, mutta taivutusjäykkyysmatriisin [D] kytkentätermit ovat nollasta poikkeavia. Yleisimmässä symmetrisessä laminaatissa myös [A]-matriisin vuorovaikutustermit ovat nollasta poikkeavia.

Taulukko 8.2 Symmetristen laminaattien luokittelu.

Tyyppi/Esimerkki	Jäykkyysmatriisit
Erityisesti ortotrooppinen	A16 = A26 = 0
[0/90/0]	[B] = 0
	D16 = D26 = 0
Balansoitu/kulmaladottu	A16 = A26 = 0
[30/-30/-30/30]	[B] = 0
Symmetrinen	[B] = 0
[30/-45/30]

Toisen laminaattien pääryhmän muodostavat keskitasonsa suhteen antisymmetriset laminaatit. Niissä pääsuunnista x ja y poikkeavat kerrokset esiintyvät +q/-q pareina sijaiten symmetrisesti laminaatin keskitasoon nähden. Laminaatit voivat lisäksi sisältää 0°- ja 90°-suuntaisia kerroksia. Kaikille antisymmetrisille laminaateille on ominaista [A]- ja [D]-matriisien kytkentätermien 16 ja 26 häviäminen. Yksinkertaisimmin käyttäytyviä ovat antisymmetriset ristiinladotut laminaatit, joissa 0°- ja 90°-suuntaiset kerrokset esiintyvät pareittain sijaiten symmetrisesti laminaatin keskitasoon nähden. Näillä laminaateilla sekä [A]- että [D]-matriisin diagonaalitermit 11 ja 22 ovat keskenään yhtä suuret. Kytkentämatriisin [B] alkioista vain 11 ja 22 termit ovat nollasta poikkeavia. Ne ovat itseisarvoltaan yhtä suuret mutta erimerkkiset. Antisymmetrisen balansoidun laminaatin [B]-matriisin alkioista nollasta poikkeavia ovat alkiot 16 ja 26. Yleisimmissä antisymmetrisissä laminaateissa [B]-matriisin alkiot 11, 22, 16 ja 26 ovat nollasta poikkeavia kuitenkin niin, että B₂₂ = – B₁₁. Antisymmetristen laminaattien luokittelu on kootusti esitetty taulukossa 8.3.

Taulukko 8.3 Antisymmetristen laminaattien luokittelu.

Tyyppi/Esimerkki	Jäykkyysmatriisit
Ristiinladottu	A16 = A26 = 0 , A11 = A22
[0/0/90/90]	B22 = -B11 , B16 = B26 = B66 = 0
	D16 = D26 = 0 , D11 = D22
Balansoitu/kulmaladottu	A16 = A26 = 0
[30/-30/30/-30]	B11 = B12 = B22 = B66 = 0
	D16 = D26 = 0
Antisymmetrinen	A16 = A26 = 0
	B12 = B66 = 0 , B22 = -B11
	D16 = D26 = 0

Epäsymmetrisistä laminaateista yksinkertaisimmin käyttäytyviä ovat epäsymmetriset ristiinladotut laminaatit, jotka sisältävät vain 0°- ja 90°-suuntaisia kerroksia mielivaltaisessa järjestyksessä. Näillä kaikkien matriisien termit 16 ja 26 häviävät. Epäsymmetrisillä balansoiduilla laminaateilla [A]-matriisin kytkentätermit häviävät muiden matriisien ollessa täysiä. Yleisimmässä tapauksessa kaikki jäykkyysmatriisit ovat täysiä. Luokittelu on kootusti esitetty taulukossa 8.4.

Taulukko 8.4 Epäsymmetristen laminaattien luokittelu.

Tyyppi/Esimerkki	Jäykkyysmatriisit
Ristiinladottu	A16 = A26 = 0
[0/90/0/0]	B16 = B26 = 0
	D16 = D26 = 0
Kulmaladottu/balansoitu	A16 = A26 = 0
[0/-30/30]
Epäsymmetrinen	kaikkien jäykkyysmatriisien
[0/45/-30]	kaikki alkiot ¹ 0

Jäykkyysmatriisien kytkentätermien merkitykset on esitetty kootusti kuvissa 8.12 ja 8.13. Selvyyden vuoksi kuvat osoittavat pelkästään kytkentätermistä johtuvan muodonmuutoksen. Kuvien mukaisesti:

• Tasojäykkyysmatriisin [A] kytkentätermien 16 ja 26 ollessa nollasta poikkeavia normaalikuormat N_x ja N_y aiheuttavat normaalivenymien ohella liukumaa ja leikkauskuorma N_xy liukuman ohella normaalivenymiä (kuva 8.12).
• Taivutusjäykkyysmatriisin [D] kytkentätermien 16 ja 26 ollessa nollasta poikkeavia taivutusmomentit M_x ja M_y aiheuttavat taipumien ohella vääntymää ja vääntömomentti M_xy vääntymän ohella taipumia (kuva 8.12).
• Kun kytkentämatriisin [B] termit 11, 12 ja 22 ovat nollasta poikkevia, normaalikuormat N_x ja N_y aiheuttavat normaalivenymien ohella taipumia ja taivutusmomentit M_x ja M_y taipumien ohella normaalivenymiä (kuva 8.13).
• Kun kytkentämatriisin [B] termi 66 on nollasta poikkeava, leikkauskuorma N_xy aiheuttaa liukuman ohella vääntymää ja vääntömomentti M_xy vääntymän ohella liukumaa (kuva 8.13).
• Kun kytkentämatriisin [B] termit 16 ja 26 ovat nollasta poikkeavia, normaalikuormat N_x ja N_y aiheuttavat normaalivenymien ohella vääntymää ja vääntömomentti M_xy vääntymän ohella normaalivenymiä. Lisäksi leikkauskuorma N_xy aiheuttaa liukuman ohella taipumia ja taivutusmomentit M_x ja M_y taipumien ohella liukumaa (kuva 8.13).

Kuva 8.12 Tasojäykkyysmatriisin [A] ja taivutusjäykkyysmatriisin [D] kytkentätermien aiheuttamat muodonmuutokset.

Kuva 8.13 Kytkentämatriisin [B] alkioiden aiheuttamat muodonmuutokset.

8.3.7 Laminaattien lämpö- ja kosteuslaajeneminen

Kuitulujitetun laminaatin lämpö- ja kosteuslaajenemisen arvioimiseksi on tunnettava kerrosten laajenemisominaisuudet niiden pääkoordinaatistossa. Nämä määritetään kokeellisesti tai arvioidaan esisuunnittelua varten sekoituskaavoilla lähtien lujitteen ja muoviaineen laajenemis­kertoimista ja kerroksen lujitepitoisuudesta (vrt. kappale 8.1). Seuraavassa tarkastelussa kerroksen lämpölaajenemiskertoimia pääsuunnissa merkitään a₁:llä ja a₂:lla, kosteuslaajenemiskertoimia vastaavasti β₁:llä ja β₂:lla. Edelliset ilmaisevat yksikön suuruisen lämpötilamuutoksen aiheuttamat venymät kerroksen pääsuunnissa 1 ja 2, jälkimmäiset vastaavasti painoprosenttiyksikön suuruisen kosteuspitoisuuden muutoksen aiheuttamat venymät.

Kerroksen kokonaisvenymät saadaan summaamalla ulkoisen kuorman sekä lämpötila- ja kosteusmuutosten (DT ja Dc) aiheuttamat venymät:

                    (8.77)

Tämä esitetään usein lyhyemmin muodossa

                                                                  (8.78)

missä {a}₁₂ ja {β}₁₂ ovat kerroksen lämpö- ja kosteuslaajenemisvektorit kerroskoordinaatistossa vastaten yksikön suuruista lämpötilan ja kosteuspitoisuuden muutosta.

Kerroksesta muodostetun laminaatin lämpö- ja kosteuslaajenemiskertoimien määrittämiseksi määritellään ekvivalentit lämpö– ja kosteusjännitykset G jännityksinä, jotka aiheuttavat samat muodonmuutokset kuin lämpötila- ja kosteusmuutokset. Määrittelyn mukaisesti ekvivalentit jännitysvektorit ovat kerroskoordinaatistossa:

                                                              (8.79a,b)

Yhteydet esitetään seuraavissa tarkasteluissa lyhyemmässä muodossa:

                                                                                      (8.80a,b)

Ekvivalentteihin jännityksiin voidaan soveltaa kappaleessa 8.2 johdettua koordinaatistomuunnosta, jonka mukaisesti kerroksen ekvivalentit lämpö- ja kosteusjännitykset laminaattikoordinaatistossa ovat:

                                                                                      (8.81a,b)

Laminaatille voidaan vastaavasti määritellä ekvivalentit voimat ja momentit, jotka aiheuttavat samat muodonmuutokset kuin laminaatin vapaa lämpö- ja kosteuslaajeneminen. Nämä saadaan summaamalla laminaatin kerrosten ekvivalenttien jännitysten aiheuttamat voimat ja momentit:

                                    (8.82a-d)

Kappaleessa 8.3.5 johdettiin epäsymmetriseen laminaattiin kohdistettujen ulkoisten voimien ja momenttien sekä näiden aiheuttamien keskitason venymien ja käyristymien välille yhteys

Kun laminaatti kokee lämpötila- ja kosteusmuutoksia, osa keskitason venymistä ja käyristymistä johtuu laminaatin vapaista lämpö- ja kosteusmuodonmuutoksista.  Tämä voidaan ottaa huomioon vähentämällä kokonaisvenymien ja -käyristymien määrittelemistä voimista ja momenteista lämpö- ja kosteuslaajenemista vastaavat ekvivalentit voimat ja momentit:

                                                  (8.83)

Tämä voidaan myös esittää muodossa

                                 (8.84)

missä {N^A}_xy on ulkoisten voimien ja ekvivalenttien voimien summa {M^A}_xy:n ollessa vastaavasti ulkoisten momenttien ja ekvivalenttien momenttien summa. Koska ekvivalentit voimat ja momentit eivät todellisuudessa kuormita laminaattia, suureita {N^A}_xy ja {M^A}_xy kutsutaan näennäisiksi voimiksi ja momenteiksi (A = apparent, näennäinen).

Yhtälöstä (8.84) voidaan ratkaista laminaatin venymätila, kun laminaattiin kohdistuu sekä mekaanisia että lämpö- ja kosteuskuormia.

Laminaatin lämpö- ja kosteuslaajenemiskertoimet voidaan määrittää lausekkeesta (8.83) tai (8.84) ottamalla huomioon, että vapaassa laajenemisessa {N}_xy ja {M}_xy häviävät. Kun tarkastellaan pelkkää vapaata lämpölaajenemista, saadaan:

                                                                                   (8.85)

josta edelleen saadaan venymät ja käyristymät ekvivalenttien voimien ja momenttien funktiona:

                                                                                (8.86)

Määritelmän mukaan lämpölaajenemiskertoimet kuvaavat laminaatin vapaan lämpölaajenemisen yhden asteen lämpötilamuutosta vastaten. Epäsymmetrisille laminaateille voidaan vastaavasti määritellä lämpökäyristymiskertoimet, jotka kuvaavat laminaatin vapaan lämpökäyristymisen yhden asteen lämpötilamuutosta vastaten. Kertoimet saadaan sijoittamalla lausekkeeseen (8.86) kaavoilla (8.82a,b) laskettavat ekvivalentit voimat ja momentit yhden asteen suuruista lämpötilamuutosta vastaten. Merkitsemällä vektorimuodossa esitettyjä lämpölaajenemiskertoimia {α}_xy:llä ja lämpökäyristymiskertoimia vastaavasti {δ}_xy:llä saadaan

                                                                               (8.87)

ekvivalenttien voimien ja momenttien yläindeksien osoittaessa, että voimat ja momentit lasketaan yhden asteen lämpötilamuutokselle.

Symmetriselle laminaatille [B] = 0, jolloin lausekkeista (8.87) ja (8.82) saadaan symmetrisen laminaatin lämpölaajenemiskertoimiksi

                                          (8.88)

Symmetrinen laminaatti ei käyristy lämpötilan muuttuessa, kun lämpötilan muutos on sama kaikkialla laminaatissa. Tämä nähdään myös lausekkeesta (8.82b) toteamalla, että symmetriselle laminaatille ekvivalentit momentit häviävät, kun ΔT = vakio.

Epäsymmetriselle laminaatille sekä lämpölaajenemis- että lämpökäyristymiskertoimet ovat nollasta poikkeavia. Kaava (8.88) antaa kuitenkin lämpölaajenemiskertoimet myös epäsymmetriselle laminaatille siinä tapauksessa, että laminaatin käyristyminen on estetty eli {κ}_xy = 0. Tämän osoittaa lauseke (8.76a).

Kosteuslaajenemiskertoimille {β}_xy ja kosteuskäyristymiskertoimille {φ}_xy saadaan analogisesti:

                                                                                (8.89)

Symmetriselle laminaatille kosteuslaajenemiskertoimet ovat kaavaa (8.88) vastaten

                                           (8.90)

8.3.8 Kerrosten venymät ja jännitykset

Kun laminaatin vaste kuormitukseen tunnetaan, voidaan myös tutkia kuorman aiheuttamia venymiä ja jännityksiä kerroksittain. Kerrosten vastetta kuormitukseen havainnollistaa kuvan 8.14 esimerkki, jossa yksinkertaisuuden vuoksi on oletettu, ettei laminaatti käyristy. Kuvan mukaisesti:

• Jännitysvapaa tila on tarkastelun alkutila, jossa laminaatin kerrokset ovat jännityksettömässä tilassa.

• Lämpötila- ja/tai kosteusmuutos aiheuttaa laminaattiin ns. vapaan venymän {e^I}_xy, jonka määrittelevät laminaatin lämpö- ja kosteuslaajenemiskertoimet.

• Laminaatin kokonaisvenymä saadaan lisäämällä lämpö- ja kosteuslaajenemisen aiheuttamiin vapaisiin venymiin ulkoisten kuormien aiheuttamat venymät:

                                  (8.91)

• Yleisessä tapauksessa kerrosten ja laminaatin lämpö- ja kosteuslaajenemiskertoimet ovat erilaiset. Kerroksen vapaa venymä {e₀^I}_xy,k osoittaa, miten se laajenisi, mikäli se ei olisi kiinni muissa kerroksissa. Kerroksen jäännösvenymä {e_r^I}_xy,k on se osa kerroksen vapaata venymää, joka ei pääse syntymään. Kuvan 8.14 mukaisin merkinnöin jäännösvenymä on

                                                                           (8.92)

• Laminaatin kokonaisvenymän ja kerroksen vapaan venymän erotus on ns. ekvivalentti venymä, joka on kerrokseen jännityksiä aiheuttava muodonmuutos:

                                                                           (8.93)

Kuva 8.14 Laminaatin ja sen kerrosten venymät.

Laminaatin muodostavien kerrosten venymä- ja jännitystilat määritetään aina saman proseduurin mukaisesti. Proseduuri on hyvin suoraviivainen ja yksinkertainen, mikäli laminaattiin kohdistuu vain ulkoisia kuormia. Yleisimmässä tapauksessa, kun tarkasteltava laminaatti on epäsymmetrinen, laskenta etenee seuraavasti:

1. Lasketaan laminaatin jäykkyysmatriisit [A], [B] ja [D] kaavoilla (8.53), (8.63) ja (8.71) ja näistä edelleen joustomatriisit [a], [b] ja [d] kaavoilla (8.75).

• Lasketaan kaavalla (8.74) ulkoisten kuormien laminaattiin aiheuttamat keskitason venymät ja käyristymät.

• Lasketaan laminaatin venymistä ja käyristymistä kerrosten venymät laminaattikoordinaatistossa kaavaa (8.45) käyttäen.

• Lasketaan kerroksen laminaattikoordinaatiston venymistä kerroksen venymätila kerroskoordinaatistossa muunnoskaavaa (8.29) käyttäen.

• Lasketaan kerroksen jännitykset kerroskoordinaatistossa kaavalla (8.19).

• Kerrosjännitykset laminaattikoordinaatistossa voidaan tarvittaessa laskea kaavalla (8.31a).

Mikäli laminaatti on symmetrinen, proseduuri yksinkertaistuu, koska symmetriselle laminaatille kytkentämatriisi [B] = 0. Mikäli symmetriseen laminaattiin kohdistuva kuorma sisältää vain tasokomponentteja, riittää tasojäykkyys- ja -tasojoustomatriisien laskenta. Kaikkien kerrosten venymät laminaattikoordinaatistossa ovat tässä tapauksessa yhtä suuret. Kun symmetriseen laminaattiin kohdistuu puhdas taivutuskuormitus, lasketaan vastaavasti vain taivutusjäykkyys- ja taivutusjoustomatriisit. Kerrosvenymät laminaattikoordinaatistossa muuttuvat tässä tapauksessa lineaarisesti kerroksen paksuuden läpi.

Laskenta monimutkaistuu jossain määrin, kun laminaattiin kohdistuu sisäisiä kuormia, toisin sanoen kun laminaatti ja sen kerrokset kokevat kuvan (8.14) mukaisia lämpötila- ja kosteusmuodonmuutoksia. Kun lämpötila-/kosteusmuutos oletetaan samaksi koko laminaatissa, laskentaproseduuri on seuraava:

1. Lasketaan laminaatin jäykkyysmatriisit [A], [B] ja [D] kaavoilla (8.53), (8.63) ja (8.71) ja näistä edelleen joustomatriisit [a], [b] ja [d] kaavoilla (8.75).

• Lasketaan lämpötila- ja kosteusmuutoksia vastaavat ekvivalentit voimat ja momentit kaavoilla (8.82) ja edelleen näennäiset voimat ja momentit kaavalla (8.84).

• Ratkaistaan kaavasta (8.84) laminaatin keskitason venymät ja käyristymät:

                                                                      (8.94)

• Lasketaan laminaatin keskitason venymistä ja käyristymistä tarkasteltavan kerroksen todelliset venymät laminaattikoordinaatistossa kaavalla (8.45).

• Lasketaan tarkasteltavan kerroksen todelliset venymät kerroskoordinaatistossa muunnoskaavalla (8.29).

• Lasketaan tarkasteltavan kerroksen jännitykset kerroskoordinaatistossa ottaen huomioon, että kerroksen vapaa lämpö- ja kosteuslaajeneminen ei aiheuta jännityksiä:

                    (8.95)

Haluttaessa voidaan myös laskea kerroksen jäännösvenymät soveltaen kaavaa (8.92) kerroskoordinaatistossa. Jännitykset ja venymät laminaattikoordinaatistossa saadaan muunnoskaavoilla (8.31).

Edellä kuvattu tarkastelu on melko suoraviivaisesti laajennettavissa kattamaan myös tapaukset, joissa lämpötilan ja/tai kosteuden muutos on z-koordinaatin funktio.

8.3.9 Klassisen laminaattiteorian käytettävyys

Klassinen laminaattiteoria kuvaa varsin tarkasti jatkuvan laminaatin käyttäytymisen niin kauan kuin kappaleen 8.3 alussa esitetyt oletukset ovat voimassa. Malli kuvaa suhteellisen hyvin melko paksujenkin laminaattien käyttäytymisen. Mallia voidaankin käyttää useiden senttimetrien paksuisten laminaattien analysointiin erityisesti, kun laminaattiin kohdistuu vain tasokuormitus.

Luvun 6 mukaisesti oletus lineaariselastisesti käyttäytyvistä kerroksista on myös useimmiten voimassa riittävällä tarkkuudella, kun kuormitustaso on alhainen. Matriisi- ja sidosvauriot alentavat kuitenkin kerrosten kuormankantokykyä, mikä on erityisesti havaittavissa mattolujitteisten kerrosten ja laminaattien jännitysvenymäkuvaajissa (vrt. kuva 6.23). Klassista laminaattiteoriaa voidaan tässäkin tapauksessa soveltaa suurillakin kuormituksilla esimerkiksi kuvaamalla kerrosjäykkyydet kuvan 8.15 mukaisilla, murtojännityksiin ja –venymiin perustuvilla sekanttimoduleilla. Tulosten epätarkkuus on kuitenkin pidettävä mielessä.

Kuva 8.15 Tangentti- ja sekanttimodulien määrittelemät jännitysvenymävastaavuudet.

Klassisen laminaattiteorian ehkä suurin puute on se, että se ei ota huomioon tasoa vastaan kohtisuorien leikkausvoimien aiheuttamia jännityksiä ja muodonmuutoksia. Nämä ovat merkityksellisiä erityisesti paksujen laminaattien taivutuskuormituksessa. Laminaattiteorian pohjalta onkin kehitetty malleja, joilla tasoa vastaan kohtisuorien leikkausvoimien vaikutukset voidaan ottaa huomioon. Mallit jätetään tässä yhteydessä tarkastelun ulkopuolelle. Yhteenveto malleista on esitetty mm. lähteessä [7].

Klassinen laminaattiteoria ei myöskään kuvaa oikein jännitystilaa laminaatin vapaan reunan läheisyydessä, johon kerrosten erilaisen käyttäytymisen takia syntyy merkittäviä tasoa vastaan kohtisuoria normaali- ja leikkausjännityksiä (kuva 8.16). Jännitysten suunta ja suuruus riippuvat laminaattirakenteesta ja laminaatin kuormituksesta. Alue, jossa jännitykset ovat merkittäviä, on leveydeltään likimain kaksi kertaa laminaatin paksuus. Jännityksiä voidaan joissakin erikoistapauksissa arvioida analyyttisesti. Pääasiassa nämä ”vapaan reunan jännitykset” määritetään kuitenkin numeerisesti elementtimenetelmällä. Määritysmenetelmät jätetään tässä yhteydessä tarkastelun ulkopuolelle. Yhteenveto vapaan reunan jännityksistä ja niiden määritysmenetelmistä on esitetty mm. lähteessä [8].

Kuva 8.16 Jännitystila laminaatin vapaan reunan läheisyydessä.

Luvun 2 mukaisesti kuitulujitetut kerrokset ovat ortotrooppisia tai tasoisotrooppisia. Lineaariselastisen ortotrooppisen kerroksen mekaanisen käyttäytymisen määrittelevät täysin sen kimmoarvot pääkoordinaatistossa (kuva 8.4). Kimmoarvoja on kaikkiaan yhdeksän:

• kimmomodulit E₁, E₂ ja E₃, jotka ilmaisevat veto- ja puristusjäykkyyden aksiaalisessa kuormituksessa pääsuunnissa 1, 2 ja 3
• Poissonin vakiot ν_ij ; ij = 12, 13 ja 23, jotka kuvaavat paljonko rakenne supistuu tai laajenee suunnassa j, kun veto- tai puristuskuorma vaikuttaa suunnassa i, sekä
• liukumodulit G₁₂, G₁₃ ja G₂₃, jotka ilmaisevat leikkausjäykkyyden, kun leikkaus­kuorma vaikuttaa tasoissa 12, 13 tai 23.

Kuva 8.4 Ortotrooppinen lujitemuovikerros ja sen päätasot 12, 13 ja 23.

Luvun 2 mukaisesti otrotrooppisia kerroksia ja niistä muodostettuja laminaatteja voidaan useimmiten tarkastella olettaen tasoa vastaan kohtisuorat jännitykset häviävän pieniksi. Kerrostasossa lineaariselastisen, ortotrooppisen kerroksen käyttäytyminen voidaan kuvata viidellä kimmoarvolla: jäykkyyksillä pääsuunnissa (E₁ ja E₂), leikkausjäykkyydellä vastaten leikkauskuormitusta päätasossa (G₁₂) sekä Poissonin vakioilla (n₁₂ ja n₂₁). Viidestä kimmoarvosta vain neljä on riippumatonta, sillä jäykkyyksien ja Poissonin vakioiden välille on johdettavissa yhteys

                                                                                                       (8.12)

Kappaleen 8.1 mukaisesti kimmoarvoille saadaan arviot laskennallisesti, kun aineosien ominaisuudet ja komposiitin rakenne tunnetaan. Tarkemmat arvot määritetään tarvittaessa kokeellisesti.

8.2.1   Jännitysvenymärelaatiot kerroskoordinaatistossa

Kun lineaariselastista, ortotrooppista kerrosta tarkastellaan sen pääkoordinaatistossa, tasojännitysten kerrokseen aiheuttamat tasovenymät saadaan kimmoarvojen määrittelyjen mukaisesti lausekkeesta (kuva 8.5):

                                                                                            (8.13)

Kuva 8.5 Ortotrooppisen kerroksen tasokuormitus pääkoordinaatistossa

Yhtälöryhmä on ns. yleistetty Hooken laki tasojännitystilassa olevalle kerrokselle. Kerros- ja laminaattianalyyseissä relaatiot esitetään tavallisesti matriisimuodossa:

                                                                      (8.14)

Kerroinmatriisia kutsutaan kerroksen joustomatriisiksi. Joustomatriisi on symmetrinen, mistä seuraa kimmomodulien ja Poissonin vakioiden välinen yhteys (8.12). Joustomatriisin yleinen muoto on näin:

                                                                                           (8.15)

Termien alaindeksointi perustuu luvussa 2 esitettyyn jännitys- ja venymävektorien määrittelyyn, jonka mukaisesti tasoleikkausjännitys ja tasoliukuma ovat vektorien viimeiset eli kuudennet komponentit.

Lauseke (8.14) esitetään usein lyhyesti muodossa

                                                                                                       (8.16)

Ratkaisemalla yhtälöryhmästä (8.13) jännityskomponentit, saadaan käänteiset yhteydet:

                                                                          (8.17)

Nämäkin esitetään tavallisesti matriisimuodossa:

             (8.18)

tai lyhyemmin:

                                                                                                       (8.19)

Kerroinmatriisia [Q] kutsutaan kerroksen jäykkyysmatriisiksi. Jäykkyysmatriisin todetaan joustomatriisin tapaan olevan symmetrinen.

Isotrooppisen kerroksen jousto- ja jäykkyysmatriisit saadaan lausekkeiden (8.14) ja (8.18) erikoistapauksina:

                             (8.20)

Lausekkeiden (8.20) mukaiset jousto- ja jäykkyysmatriisit kuvaavat myös tasoisotrooppisen kerroksen käyttäytymisen, kun kerrostaso on isotropiataso.

Lauseke (8.14) on myös helposti laajennettavissa 3D-jännitystilaa vastaavaksi:

             (8.21)

Ratkaisemalla jännitykset venymien funktiona saadaan käänteinen yhteys, joka on muotoa:

                                                (8.22)

Sekä tasojännitystilaa että 3D-jännitystilaa vastaavien jousto- ja jäykkyysmatriisien lävistäjäalkioiden tulee olla positiivisia. Ehdoista saadaan kimmoarvoille seuraavat rajoitukset:

                                                  (8.23)

Esimerkki

Esimerkkeinä tasoisotrooppisen ja ortotrooppisen kerroksen mekaanisesta käyttäytymisestä tarkastellaan kahta lujitettua kerrosta: lasikuitumatolla lujitettua polyesteriä sekä yhdensuuntaisella lasikuitukudoksella lujitettua epoksia. Kerrosten tyypilliset kimmoarvot ja näistä johdetut jousto- ja jäykkyysmatriisit on esitetty taulukossa 8.1. Kerrosten lujitepitoisuudet vastaavat käsinlaminoinnilla saavutettavia arvoja.

Taulukko 8.1 Tyypilliset kimmoarvot sekä jousto- ja jäykkyysmatriisit E-lasikuitu/polyesteri-mattokerrokselle sekä E-lasikuitu/epoksi-yhdensuuntaiskerrokselle.

8.2.2   Jännitysvenymärelaatiot laminaattikoordinaatistossa

Tarkoituksenmukaisten jäykkyys- ja lujuusominaisuuksien saavuttamiseksi laminaatit joudutaan yleensä muodostamaan vaihtelevasti suunnatuista ortotrooppisista kerroksista. Laminaatin suunnittelussa ja mitoituksessa on tällöin tunnettava kerrosten käyttäytyminen mielivaltaisesti tasossaan kuormitettuna. Käyttäytyminen voidaan kuvata edellä esitetyillä kimmoarvoilla, sillä jännitykset ja venymät voidaan muuntaa yksinkertaisin muunnoskaavoin yhdestä suorakulmaisesta koordinaatistosta toiseen.

Luvun 2 määrittelyjä vastaten globaalin laminaattikoordinaatiston xyz ja kerroksen pääkoordinaatiston 123 välinen kulma q on positiivinen kuvan 8.6 mukaisesti. Globaalin ja lokaalin koordinaatiston jännityksille saadaan muunnoskaavat kuvan mukaisten kolmioelementtien voimatasapainoehdoista. Voimat paksuusyksikköä kohti saadaan kertomalla jännitykset sen sivun pituudella, johon jännitys vaikuttaa.  Ottamalla lisäksi huomioon voimien vaikutussuunnat, saadaan kuvan tapauksessa voimatasapainoehdoiksi 1- ja 2-akselien suunnassa

                                                         (8.24)

Vastaavasti voidaan kirjoittaa voimatasapainoehdot kolmioelementille, jonka hypotenuusa on y-akselin suuntainen. Ratkaisemalla yhtälöistä kerroksen pääkoordinaatiston jännitykset saadaan:

                            (8.25)

Kuva 8.6 Kerroksen lokaalin 12-koordinaatiston ja globaalin xy-koordinaatiston välinen positiivinen kulma, kerroksen kolmioelementti ja siihen vaikuttavat jännitykset.

Yhtälöryhmä (8.25) esitetään tavallisesti matriisimuodossa

                                                                      (8.26)

missä matriisi [T] on ns. koordinaatiston muunnosmatriisi:

                                            (8.27)

Venymien muunnoskaavat voidaan lausekkeen (8.27) mukaista muunnosmatriisia käyttäen esittää muodossa

                                                                                           (8.28)

missä liukuma-arvojen jako kahdella johtuu siitä, että liukuma on määritelty kuvan 2.13 mukaisena teknisenä liukumana. Jakajat voidaan sisällyttää muunnosmatriisiin, jolloin lauseke (8.28) muuntuu muotoon

                                                              (8.29)

missä [T]^-T on muunnosmatriisin [T] transpoosin käänteismatriisi:

                                   (8.30)

Matriisiyhtälöistä (8.26) ja (8.29) saadaan lausuttua xy-koordinaatiston jännitys- ja venymä­komponentit 12-koordinaatiston komponenttien avulla:

                                                                                            (8.31 a,b)

Kaavassa (8.31) esiintyvä [T]:n käänteismatriisi [T]^-1 on

                                        (8.32)

Lausekkeista (8.31a), (8.19) ja (8.29) saadaan lopulta jännitysten ja venymien väliseksi yhteydeksi xy-koordinaatistossa

                      (8.33)

Lausekkeen (8.33) mukainen 3×3 matriisi

                                                                                              (8.34)

on kerroksen jäykkyysmatriisi globaalissa xy-koordinaatistossa. Tämäkin jäykkyysmatriisi on symmetrinen. Sen alkioille saadaan matriisitulosta (8.34) lausekkeet:

            (8.35)

Kun matriisiyhtälö (8.33) kerrotaan puolittain jäykkyysmatriisin käänteismatriisilla, saadaan määrättyä jännitystilaa vastaavaksi venymätilaksi

                                                                                (8.36)

missä jännitysvektorin kerroinmatriisi on kerroksen joustomatriisi globaalissa xy-koordinaatistossa. Joustomatriisi on jäykkyysmatriisin tapaan symmetrinen. Sen alkioiden lausekkeet ovat:

         (8.37)

8.2.3   Kerroksen mekaaninen käyttäytyminen laminaattikoordinaatistossa

Kaavojen (8.35) ja (8.37) mukaisesti kerroksen xy-koordinaatiston jäykkyys- ja joustomatriiseilla on yksi merkittävä ero verrattuna kerroksen pääkoordinaatiston jäykkyys- ja joustomatriiseihin. Tämä ero on jäykkyys- ja joustomatriisien täyttyminen, kun 0° < q < 90°.

Matriisien nollasta poikkeavien 16- ja 26-alkioiden johdosta kerroksen vaste kuormitukseen on globaalissa koordinaatistossa erilainen kuin pääkoordinaatistossa. Lausekkeesta (8.36) voidaan todeta, että kerrokseen kohdistettu normaalijännitys s_x tai s_y aiheuttaa tällöin kerrokseen normaalivenymien ohella liukuman eli leikkausmuodonmuutoksen. Toisaalta kerrokseen kohdistettu leikkausjännitys t_xy aiheuttaa liukuman ohella normaalivenymiä. Tätä ilmiöitä havainnollistaa kuva 8.7. Ilmiötä kutsutaan normaali- ja leikkauskuormitustilanteiden kytkeytymiseksi ja matriisien 16- ja 26-alkioita kerroksen tasokäyttäytymisen kytkentätermeiksi.

Kuva 8.7 Normaali- ja leikkausjännityksen aiheuttamat muodonmuutokset, kun kerrosta kuormitetaan globaalissa xy-koordinaatistossa.

Jäykkyys- ja joustomatriisit määrittelevät täysin kerroksen käyttäytymisen xy-koordinaatistossa. Käyttäytyminen voidaan kuvata myös kimmoarvoilla, jotka saadaan kerroksen joustomatriisien alkioista tarkastelemalla kuormitustilanteita, joissa vain yksi kuormituskomponentti on nollasta poikkeava. Kimmomodulit E_x ja E_y, liukumoduli G_xy sekä Poissonin vakiot n_xy ja n_yx eivät kuitenkaan enää riitä täysin kuvaamaan kerroskäyttäytymistä. Näiden rinnalle tarvitaan lisätermit, jotka kuvaavat normaalijännityksen aiheuttaman liukuman ja leikkausjännityksen aiheuttamien normaalivenymien suunnan ja suuruuden. Näitä lisätermejä kutsutaan Lekhnitskiin vakioiksi. Kaikki kimmoarvot voidaan määrittää joustomatriisin alkioista:

                            (8.38)

Kaavoissa Lekhnitskiin vakiot h on indeksoitu yleisimmän käytännön mukaisesti osoittamalla alaindeksin ensimmäisellä osalla vaikuttava kuormituskomponentti ja toisella osalla muodonmuutos, jonka suuruuden vakio ilmaisee. Muodonmuutos on suhteutettu primääriin muodonmuutokseen. Näin esimerkiksi h_x,xy kuvaa normaalijännityksen s_x aiheuttaman liukuman g_xy suhteutettuna jännityksen aiheuttamaan primääriin venymään e_x:

                                                                   (8.39)

Esimerkki

Esimerkkinä edellä esitettyjen kaavojen käytöstä tarkastellaan taulukon 8.1 mukaista lasikuitu/epoksi-yhdensuuntaiskerrosta xy-koordinaatistossa, joka muodostaa kulman +45° kerroskoordinaatiston 12 kanssa.

Taulukossa 8.1 kerroksen jäykkyysmatriisiksi kerroskoordinaatistossa saatiin

Kaava (8.32) antaa koordinaatiston muunnosmatriisiksi:

Kerroksen jäykkyysmatriisi xy-koordinaatistossa voidaan edelleen laskea kaavasta (8.34) tai kaavoilla (8.35):

Joustomatriisi saadaan kääntämällä jäykkyysmatriisi:

Jäykkyys- ja joustomatriisien kaikkien alkioiden nähdään olevan nollasta poikkeavia. Kerroksen käyttäytyminen xy-koordinaatiston aksiaali- ja leikkauskuormituksessa on näin ollen kuvan 8.7 mukaista. Kaavoista (8.38) saadaan kerroksen kimmoarvoiksi:

Tuloksen mukaisesti kerroksen jäykkyys x-koordinaatin suunnassa on vain noin 30 % kuitusuunnan jäykkyydestä. Liukumoduli taas on likimain kaksinkertainen verrattuna kerroskoordinaatiston liukumoduliin. Poissonin vakio ja Lekhnitskiin vakiot ovat melko suuria osoittaen, että aksiaali- tai leikkauskuormitettuun kerrokseen syntyy primäärin venymän tai liukuman ohella merkittävästi myös muita muodonmuutoksia.

8.2.4   Jäykkyysinvariantit

Jäykkyysmatriisin alkioiden lausekkeet (8.35) voidaan edelleen muokata erottamalla toisistaan kerroksen suuntakulmasta riippuvat ja riippumattomat osat. Toimituksen tuloksena alkioille saadaan seuraavat lausekkeet:

                                                                        (8.40)

missä U₁ – U₅ ovat niin kutsutut jäykkyysinvariantit, joiden lausekkeet ovat

                                                                   (8.41)

Mikromekaanisissa laskentamalleissa komposiitin ominaisuuksia arvioidaan lähtien aineosien ominaisuuksista, seossuhteista ja järjestäytymisestä. Käyttökelpoisia malleja on kyetty kehittämään vain yksinkertaisille komposiiteille. Tyypillisesti malleilla arvioidaan kuitulujitetun kerroksen käyttäytymistä kuitusuuntien ja kerrostason määrittelemissä pääsuunnissa ja -tasoissa. Seuraavat tarkastelut rajoitetaankin näihin malleihin. Mallit tietenkin kuvaavat myös vastaavien samansuuntaisista kerroksista muodostettujen laminaattien käyttäytymistä.

Mallien lähtöoletuksena on aineosien lineaariselastinen käyttäytyminen. Lujitekuidut oletetaan lisäksi tasoisotrooppisiksi, matriisimuovi isotrooppiseksi ja tarkasteltava kerros huokosettomaksi.

8.1.1   Kimmoarvot

Kuitulujitetun kerroksen kimmoarvoille voidaan johtaa yksinkertaiset lausekkeet lähtien komponenttien kimmoarvoista sekä kuitujen ja matriisin seossuhteesta. Lausekkeita kutsutaan sekoituskaavoiksi.

Yhdensuuntaiskerroksen kimmomoduli kuitusuunnassa

Kun yhdensuuntaiskerrosta kuormitetaan lujitteiden suunnassa (kuva 8.1), lujite­kuidut ja muoviaine kantavat kuormia rinnakkain. Tällöin kummankin materiaalin voidaan olettaa venyvän kuormituksen suunnassa saman verran. Toisin sanoen kuitusuunnassa 1 aineosien venymät ja kerroksen venymä ovat yhtä suuret:

                                                                                                            (8.1)

Lausekkeessa alaindeksi f viittaa kuituun ja alaindeksi m matriisiin. Venymää vastaavat aineosien kantamat kuormat F_f ja F_m ovat:

                                                                   (8.2)

missä A_f ja A_m ovat kuitujen ja matriisiaineen kokonaispinta-alat kerroksen poikkileikkauksessa, E_fL on lujitekuidun kimmomoduli pituussuunnassa ja E_m on matriisimuovin kimmomoduli. Kerroksen kimmomodulille E₁ saadaan tästä

                                                         (8.3)

missä V_f ja V_m ovat lujitekuitujen ja matriisin suhteelliset osuudet kerroksen poikkileikkauksessa eli aineosien tilavuusosuudet kerroksessa.

Lausekkeen (8.3) mukaisesti yhdensuuntaiskerroksen kimmomoduli kuitusuunnassa saadaan summaamalla lujitteen ja muoviaineen kimmomodulit niiden tilavuusosuuksien suhteessa. Lausekkeen mukaisesti jäykkyys kasvaa lineaarisesti lujitteen tilavuusosuuden kasvaessa (kuva 8.1).

Lausekkeen johtamisessa tehty oletus vastaa käytännössä hyvin todellisuutta eli sen antama arvio on lähellä oikeaa, kokeellisesti saatavaa arvoa.

Kuva 8.1 Sekoituskaavan mukainen yhdensuuntaiskerroksen kimmomoduli kuitusuunnassa kuitujen tilavuusosuuden funktiona, esimerkkilujitteena SM-hiilikuitu ja matriisina epoksi.

Yhdensuuntaiskerroksen Poissonin vakio

Tarkastelemalla vastaavin oletuksin kerroksen muodonmuutoksia suunnissa 1 ja 2, kun kuormitus vaikuttaa kuitujen suunnassa 1, saadaan Poissonin vakiolle n₁₂ lauseke

                                                              (8.4)

missä n_fLT on lujitekuidun Poissonin vakio kuidun pituussuuntaisessa kuormituksessa ja n_m on matriisin Poissonin vakio. Lauseke vastaa muodoltaan jäykkyydelle E₁ saatua lauseketta. Lausekkeen käytön kannalta on huomattava, että siinä esiintyvä lujitekuidun Poissonin vakio n_fLT ei ole suoraan mitattavissa. Arvo voidaan määrittää yhdensuuntaiskerrokselle mitatun Poissonin vakion ja lausekkeen (8.4) avulla.

Yhdensuuntaiskerroksen kimmomoduli poikittaissuunnassa

Poikittaissuunnassa 2 kuitujen ja muovin voidaan ajatella olevan sarjaan kytketyt (kuva 8.2). Olettamalla jännitys lujitteessa ja muoviaineessa yhtä suureksi, muodostamalla lauseke kerroksen venymälle ja jakamalla jännitys venymällä saadaan kimmomodulille suunnassa 2 lauseke:

                                                                 (8.5)

missä alaindeksi T viittaa kuidun poikittaissuuntaan (Transverse). Esimerkki lausekkeen mukaisesta kimmomodulista kuitujen tilavuusosuuden funktiona on kuvassa 8.2.

Kuva 8.2 Sekoituskaavan mukainen yhdensuuntaiskerroksen kimmomoduli kuituja vastaan kohtisuorassa suunnassa kuitujen tilavuusosuuden funktiona, esimerkkilujitteena SM-hiilikuitu ja matriisina epoksi.

Lausekkeen johtamisessa tehty vakiojännitysoletus on karkea, joten lausekkeen antama arvo voi poiketa huomattavasti mitatusta arvosta. Lisäksi on huomattava, että lujitekuidun poikittainen kimmomoduli ei ole suoraan mitattavissa. Arvo voidaan määrittää mittaamalla yhdensuuntaiskerroksen poikittainen kimmomoduli E₂ ja laskemalla arvo E_fT:lle lausekkeesta (8.5).

Yhdensuuntaiskerroksen liukumoduli kerrostasossa

Kerroksen liukumoduli G₁₂ voidaan arvioida olettamalla leikkausjännitys samaksi kuiduissa ja matriisissa (kuva 8.3). Olettamalla edelleen, että kerroksen kokonaisliukuma on aineosien liukumien summa, saadaan liukumodulille lauseke:

                                                             (8.6)

missä G_fLT  ja G_m ovat lujitekuitujen ja matriisin liukumodulit. Lauseke on muodoltaan poikittaiselle kimmomodulille E₂ saatua lauseketta (8.5) vastaava (kuva 8.3). Lujitekuidun liukumoduli määritetään tavallisesti kerrokselle mitatun liukumodulin perusteella lauseketta (8.6) käyttäen.

Kuva 8.3 Sekoituskaavan mukainen yhdensuuntaiskerroksen liukumoduli kuitujen tilavuusosuuden funktiona, esimerkkilujitteena SM-hiilikuitu ja matriisina epoksi.

Yhdensuuntaiskerroksen muut kimmoarvot

Yhdensuuntaiskerroksen Poissonin vakio kerrostasoa vastaan kohtisuorassa kuormituksessa voidaan johtaa vastaavalla oletuksella kuin kimmomoduli E₂, toisin sanoen olettamalla kuormituksen suuntaiset jännitykset lujitteessa ja matriisissa yhtä suuriksi. Poissonin vakiolle saadaan lauseke:

                                                                                   (8.7)

missä n_m on matriisin Poissonin vakio ja n_fTT lujitekuidun Poissonin vakio poikittaistasossa.  

Ottamalla huomioon, että yhdensuuntaiskerros on tasoisotrooppinen eli käyttäytyy poikittaistasossa isotrooppisesti saadaan muille kimmoarvoille:

                                                                                                      (8.8)

Kudos- ja mattokerrosten kimmomodulit

Pituussuuntaiselle kimmomodulille saatu sekoituskaava (8.3) soveltuu modifioituna myös muiden kuin yhdensuuntaiskerrosten kimmomodulien arviointiin. Kudoksella lujitetun kerroksen jäykkyyksille pääsuunnissa saadaan yleensä kohtuullinen likiarvo sisällyttämällä sekoituskaavaan lujitteista vain tarkastelusuuntaan suunnatut kuidut. Voidaan ajatella, että ”unohtamalla” poikittaissuuntaiset lujitteet kompensoidaan tarkastelusuunnassa olevien kuitujen tehokkuutta alentava mutkaisuus. Tällä oletuksella kimmomodulin lauseke voidaan kirjoittaa muotoon:

                                                          (8.9)

missä tehokkuuskerroin α on tarkastelusuuntaan suunnattujen lujitteiden osuus koko lujitemää­rästä. Esimerkiksi tasavaltaisille kudoksille α = 1/2.

Lauseketta (8.9) käytetään eri tehokkuuskertoi­men arvolla myös tasomaisella matolla ja kolmiulotteisesti suuntautuneella hakkeella lujitettujen komposiittien jäykkyyksien arviointiin. Mattolujitteisen rakenteen jäykkyydelle on todettu saatavan kohtuullinen likiarvo tehokkuuskertoimen arvolla α = 3/8. Hakelujitteiselle rakenteelle on vastaavasti käytetty arvoa α = 1/5.

8.1.2     Laajenemiskertoimet

Yhdensuuntaiskerroksen laajenemiskertoimille voidaan johtaa kimmoarvojen sekoituskaavoja vastaavat lausekkeet.

Kuitujen suuntaiselle lämpölaajenemiskertoimelle saadaan lauseke tarkastelemalla lämpötilan muutoksen aiheuttamia kuitujen suuntaisia jännityksiä lujitekuiduissa ja matriisissa. Vapaassa laajenemisessa jännitysten aiheuttamien voimien summan on oltava nolla. Tästä ehdosta saadaan lämpölaajenemiskertoimelle:

                                                                                    (8.10)

missä a_fL on lujitekuidun lämpölaajenemiskerroin pituussuunnassa ja a_m on matriisiaineen lämpölaajenemiskerroin. Poikittaissuuntaiselle lämpölaajenemiskertoimelle saadaan lauseke tarkastelemalla lujitteen ja muovin yhdistelmää sarjaan kytkettynä systeeminä:

                       (8.11)

Luvun 6 mukaisesti laminaattien kosteuslaajenemista voidaan tarkastella vastaavasti kuin lämpölaajenemista. Yhdensuuntaiskerroksen kosteuslaajenemista pääsuunnissa 1, 2 ja 3 voidaankin arvioida kaavoilla (8.10) ja (8.11), kun lämpölaajenemiskertoimet korvataan vastaavilla kosteuslaajenemiskertoimilla.

8.1.3   Lujuusarvot

Mikromekaanisia laskentamalleja on kehitetty myös yhdensuuntais- ja ristikkäislujitettujen rakenteiden lujuuden arviointiin. Yksinkertaisimmat näistä perustuvat oletukseen, että yhdistel­märakenne kantaa kuormituksia, kunnes ensiksi pettävän materiaalikomponentin murtolujuus (tai murtovenymä) ylitetään. Oletus on useimmiten runsaasti optimistinen lähinnä jännityskeskittymi­en, huokoisuuden ja tartunnan heikkouden takia. Esimerkiksi E-lasikuidun murtovenymä on lähes 5 %. Samaan murtovenymään yltävät monet epoksit. Kun nämä yhdistetään yhdensuuntais­laminaatiksi, murtovenymä lujitteiden suunnassa on tyypillisesti vain 2…4 %. Lujuuden arviointiin kehitettyjen mikromekaanisten mallien puutteista johtuen niitä ei tässä yhteydessä tarkastella. Käytännössä kerrosten, ja tarvittaessa myös laminaattien lujuudet tulee aina määrittää kokeellisesti käytettyjä materiaaleja ja käytettyä valmistusmenetelmää vastaten.

Muovikomposiittien ominaisuuksien arviointiin on kehitetty omat laskentamallinsa. Seuraavassa keskitytään kuitulujitetuista kerroksista muodostettujen laminaattien laskentamalleihin. Esitettävät mallit kuvaavat kohtuullisen hyvin laminaattien käyttäytymistä. Mikään laskentamalli ei kuitenkaan pysty ottamaan huomioon kaikkia ominaisuuksiin vaikuttavia tekijöitä, mistä syystä tärkeimmät ominaisuudet on aina varmistettava kokeellisesti.

Kappaleessa 8.1 esitellään aluksi ns. mikromekaaniset mallit. Niillä voidaan arvioida rakenteeltaan yksinkertaisen laminaatin ominaisuuksia, kun laminaatin koostumus ja seosaineiden ominaisuu­det tunnetaan. Kappaleissa 8.2 ja 8.3 esitetään makromekaaniset mallit, joilla voidaan arvioida lujitettujen kerrosten ja kerroksista muodostettujen laminaattien käyttäytymistä. Kappaleessa 8.4 kuvataan yleisimmät laminaattien lujuuden arviointiin kehitetyt kriteerit. Muut rakennesuunnittelun kannalta oleelliset laskentamallit esitellään kappaleessa 8.5. Tarkasteluissa käytettävät perustermit ja -merkinnät on kuvattu luvussa 2. Laskentamalleja on kuvattu myös mm. lähteissä [1-5].

Seuraava luku: 8.1    Mikromekaaniset laskentamallit